MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilorFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați inegalitatea: log⁡1/3x>log⁡x3−52\log_{1/3} x > \log_x 3 - \tfrac{5}{2}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Domeniul de definiție: x>0x>0, x≠1x\neq1.
25 puncte
Folosiți schimbul de bază: log⁡1/3x=ln⁡xln⁡(1/3)=−ln⁡xln⁡3\log_{1/3}x=\dfrac{\ln x}{\ln(1/3)}=-\dfrac{\ln x}{\ln3} şi log⁡x3=ln⁡3ln⁡x\log_x3=\dfrac{\ln3}{\ln x}. Rescrieţi inegalitatea ca ecuaţie în t=ln⁡xt=\ln x: −tln⁡3>ln⁡3t−52-\dfrac{t}{\ln3}>\dfrac{\ln3}{t}-\tfrac{5}{2}, multiplicaţi cu tln⁡3t\ln3 ţinând cont de semn şi obţineţi un polinom quadratic în tt; rezolvaţi inegalitatea rezultantă.
33 puncte
Întoarceţi soluţia în termenii lui xx (prin x=etx=e^{t}), intersectaţi cu domeniul şi prezentaţi mulţimea soluţiilor care respectă condiţia iniţială.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.