MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilorFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați inegalitatea: log⁡53x+4⋅log⁡x5>1\log_5\sqrt{3x+4}\cdot\log_x 5 > 1.

Rezolvare completă

8 puncte · 4 pași
11 punct
Domeniul: x>0x>0, x≠1x\ne1, şi 3x+4>0⇒x>−433x+4>0\Rightarrow x>-\tfrac{4}{3}, deci efectiv x>0x>0, x≠1x\ne1.
22 puncte
Observați log⁡x5=1log⁡5x\log_x 5=\dfrac{1}{\log_5 x} şi log⁡53x+4=12log⁡5(3x+4)\log_5\sqrt{3x+4}=\tfrac{1}{2}\log_5(3x+4). Produsul devine 12log⁡5(3x+4)log⁡5x=12log⁡x(3x+4)\dfrac{1}{2}\dfrac{\log_5(3x+4)}{\log_5 x}=\tfrac{1}{2}\log_x(3x+4). Inegalitatea echivalentă este log⁡x(3x+4)>2\log_x(3x+4)>2.
34 puncte
Studiați cazurile:
  • Pentru x>1x>1 funcția logaritmului este crescătoare, deci 3x+4>x2⇒x2−3x−4<0⇒x∈(1,4)3x+4>x^2\Rightarrow x^2-3x-4<0\Rightarrow x\in(1,4).
  • Pentru 0<x<10<x<1 logaritmul este descrescător, inegalitatea ar da 3x+4<x23x+4<x^2, care nu are soluții în (0,1)(0,1).
41 punct
Concluzie: soluția este x∈(1,4)x\in(1,4).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.