MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați valoarea expresiei: log⁡3−4x2(9−16x4)+2+1log⁡2(3−4x2)\log_{3-4x^2}(9 - 16x^4) + 2 + \dfrac{1}{\log_2(3 - 4x^2)}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Stabiliți domeniul: baza b=3−4x2b=3-4x^2 trebuie să fie pozitivă şi diferită de 11, iar argumentul 9−16x4>09-16x^4>0.
23 puncte
Factorizați 9−16x4=(3−4x2)(3+4x2)9-16x^4=(3-4x^2)(3+4x^2) şi rescrieți primul termen: log⁡b(9−16x4)=1+log⁡b(3+4x2)\log_b(9-16x^4)=1+\log_b(3+4x^2).
32 puncte
Observați că 1log⁡2b=1ln⁡bln⁡2=ln⁡2ln⁡b=log⁡b2\dfrac{1}{\log_2 b}=\dfrac{1}{\dfrac{\ln b}{\ln2}}=\dfrac{\ln2}{\ln b}=\log_b 2.
43 puncte
Combinați termenii: expresia devine 1+log⁡b(3+4x2)+2+log⁡b2=3+log⁡b(2(3+4x2))1+\log_b(3+4x^2)+2+\log_b 2=3+\log_b\bigl(2(3+4x^2)\bigr); înlocuind b=3−4x2b=3-4x^2 se poate scrie final 3+log⁡3−4x2(6+8x2)3+\log_{3-4x^2}(6+8x^2), care este forma simplificată a expresiei pe domeniul stabilit.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.