MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere ComplexeIdentități algebrice
Descompuneți polinomul P(x)=x4+4P(x) = x^4 + 4 în factori ireductibili peste R\mathbb{R} și peste C\mathbb{C}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Observăm că x4+4=(x2+2)2−(2x)2=(x2+2x+2)(x2−2x+2)x^4 + 4 = (x^2 + 2)^2 - (2x)^2 = (x^2 + 2x + 2)(x^2 - 2x + 2) folosind identitatea algebrică a2−b2=(a−b)(a+b)a^2 - b^2 = (a-b)(a+b).
24 puncte
Aceasta este descompunerea peste R\mathbb{R}, deoarece factorii pătratici au discriminanții negativi: Δ1=4−8=−4<0\Delta_1 = 4 - 8 = -4 < 0 și Δ2=4−8=−4<0\Delta_2 = 4 - 8 = -4 < 0, deci sunt ireductibili peste R\mathbb{R}.
33 puncte
Peste C\mathbb{C}, găsim rădăcinile fiecărui factor rezolvând x2+2x+2=0x^2 + 2x + 2 = 0 și x2−2x+2=0x^2 - 2x + 2 = 0. Obținem x=−1±ix = -1 \pm i și x=1±ix = 1 \pm i, deci descompunerea este P(x)=(x−(−1+i))(x−(−1−i))(x−(1+i))(x−(1−i))P(x) = (x - (-1+i))(x - (-1-i))(x - (1+i))(x - (1-i)).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.