MediuPolinoameClasa 9

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameProgresii Aritmetice
Fie polinomul P(x)=x3+ax2+bx+cP(x) = x^3 + ax^2 + bx + c cu coeficienți reali. Rădăcinile lui PP sunt în progresie aritmetică. Știind că suma rădăcinilor este 6 și că P(1)=10P(1) = 10, determinați polinomul P(x)P(x).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Notăm rădăcinile cu r−dr-d, rr, r+dr+d. Din suma rădăcinilor, (r−d)+r+(r+d)=3r=6(r-d) + r + (r+d) = 3r = 6, deci r=2r = 2.
23 puncte
Folosind relațiile lui Viète, suma rădăcinilor este −a=6-a = 6, deci a=−6a = -6. Produsul rădăcinilor este −c=(r−d)⋅r⋅(r+d)=r(r2−d2)=2(4−d2)-c = (r-d) \cdot r \cdot (r+d) = r(r^2 - d^2) = 2(4 - d^2).
32 puncte
Din P(1)=10P(1) = 10, avem 1+a+b+c=101 + a + b + c = 10, deci 1−6+b+c=101 - 6 + b + c = 10, adică b+c=15b + c = 15.
42 puncte
Suma produselor câte două rădăcini este b=(r−d)r+r(r+d)+(r−d)(r+d)=3r2−d2=12−d2b = (r-d)r + r(r+d) + (r-d)(r+d) = 3r^2 - d^2 = 12 - d^2. Avem sistemul: b=12−d2b = 12 - d^2, c=−2(4−d2)c = -2(4 - d^2), și b+c=15b + c = 15. Substituind, obținem 12−d2−8+2d2=1512 - d^2 - 8 + 2d^2 = 15, deci d2=11d^2 = 11, d=±11d = \pm \sqrt{11}. Atunci b=12−11=1b = 12 - 11 = 1, c=−2(4−11)=14c = -2(4 - 11) = 14. Polinomul este P(x)=x3−6x2+x+14P(x) = x^3 - 6x^2 + x + 14.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.