MediuPolinoameClasa 11

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameDerivateStudiul funcțiilor
Demonstrați că pentru orice polinom P(x)P(x) de grad n≥1n \geq 1, cu coeficienți reali, dacă P(x)P(x) are toate rădăcinile reale, atunci polinomul Q(x)=P(x)+P′(x)Q(x) = P(x) + P'(x) are cel puțin o rădăcină reală.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Considerăm polinomul P(x)P(x) cu rădăcinile reale r1,r2,…,rnr_1, r_2, \dots, r_n. Scriem P(x)=an(x−r1)(x−r2)⋯(x−rn)P(x) = a_n (x - r_1)(x - r_2) \cdots (x - r_n).
24 puncte
Definim funcția f(x)=exP(x)f(x) = e^x P(x). Atunci f′(x)=exP(x)+exP′(x)=exQ(x)f'(x) = e^x P(x) + e^x P'(x) = e^x Q(x), deci Q(x)=e−xf′(x)Q(x) = e^{-x} f'(x).
34 puncte
Aplicăm teorema lui Rolle funcției f(x)f(x) pe intervalul dintre rădăcinile reale ale P(x)P(x). Deoarece P(x)P(x) are toate rădăcinile reale, f(x)f(x) se anulează în aceleași puncte. Între oricare două rădăcini consecutive ale f(x)f(x), există cel puțin un punct cc unde f′(c)=0f'(c) = 0. Dar f′(c)=ecQ(c)f'(c) = e^c Q(c), și ec≠0e^c \neq 0, deci Q(c)=0Q(c) = 0. Astfel, Q(x)Q(x) are cel puțin o rădăcină reală.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.