MediuPolinoameClasa 9

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie polinomul P(x)=x3+ax+bP(x) = x^3 + ax + b cu coeficienți reali. Știind că P(1)=0P(1) = 0 și că rădăcinile polinomului sunt în progresie aritmetică, determinați aa și bb.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Din P(1)=0P(1)=0, avem 13+a⋅1+b=01^3 + a \cdot 1 + b = 0, deci a+b+1=0a + b + 1 = 0 și b=−1−ab = -1 - a.\n
23 puncte
Fie rădăcinile r−dr-d, rr, r+dr+d în progresie aritmetică. Suma rădăcinilor este (r−d)+r+(r+d)=3r(r-d) + r + (r+d) = 3r. Pentru polinomul P(x)=x3+ax+bP(x) = x^3 + ax + b, coeficientul lui x2x^2 este 0, deci suma rădăcinilor este 0. Astfel, 3r=0⇒r=03r = 0 \Rightarrow r = 0.\n
32 puncte
Produsul rădăcinilor este (r−d)⋅r⋅(r+d)=0⋅(−d)⋅d=0(r-d) \cdot r \cdot (r+d) = 0 \cdot (-d) \cdot d = 0. Din relațiile lui Viète, produsul rădăcinilor este −b-b, deci −b=0⇒b=0-b = 0 \Rightarrow b = 0.\n
42 puncte
Din b=0b = 0 și b=−1−ab = -1 - a, obținem −1−a=0⇒a=−1-1 - a = 0 \Rightarrow a = -1.\n
51 punct
Verificare: Polinomul devine P(x)=x3−xP(x) = x^3 - x, cu rădăcinile −1,0,1-1, 0, 1, care sunt în progresie aritmetică, și P(1)=0P(1)=0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.