MediuPolinoameClasa 9

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameProgresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră polinomul f(X)=X3+aX2+bX+cf(X) = X^3 + aX^2 + bX + c cu coeficienți reali. Știind că rădăcinile polinomului sunt în progresie geometrică și că suma rădăcinilor este 6, iar produsul rădăcinilor este 8, determinați coeficienții aa, bb, cc.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Notăm rădăcinile polinomului ca fiind în progresie geometrică: xx, xrxr, xr2xr^2.
22 puncte
Aplicăm formulele lui Vieta: suma rădăcinilor x+xr+xr2=−a=6x + xr + xr^2 = -a = 6, deci a=−6a = -6; produsul rădăcinilor x⋅xr⋅xr2=−c=8x \cdot xr \cdot xr^2 = -c = 8, deci c=−8c = -8.
32 puncte
Din produsul rădăcinilor, x3r3=8x^3 r^3 = 8, deci xr=2xr = 2.
42 puncte
Substituim xr=2xr = 2 în suma rădăcinilor: x+2+xr2=6x + 2 + xr^2 = 6, deci x+xr2=4x + xr^2 = 4. Cu x=2/rx = 2/r, obținem 2/r+2r=42/r + 2r = 4, care conduce la ecuația r2−2r+1=0r^2 - 2r + 1 = 0, cu soluția r=1r = 1.
52 puncte
Atunci x=2x = 2, iar rădăcinile sunt 2,2,22, 2, 2. Coeficientul bb se obține din suma produselor rădăcinilor luate două câte două: b=2⋅2+2⋅2+2⋅2=12b = 2\cdot2 + 2\cdot2 + 2\cdot2 = 12. Astfel, a=−6a = -6, b=12b = 12, c=−8c = -8.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.