MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie P(x)=x3+ax2+bx+cP(x) = x^3 + ax^2 + bx + c un polinom cu coeficienți reali. Știind că 1+i1+i este o rădăcină a polinomului și că P(2)=10P(2) = 10, determinați coeficienții a,b,ca, b, c.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Deoarece coeficienții sunt reali, dacă 1+i1+i este rădăcină, atunci și conjugata sa 1−i1-i este rădăcină. Notăm rădăcinile x1=1+ix_1 = 1+i, x2=1−ix_2 = 1-i, x3=rx_3 = r.
23 puncte
Folosind relațiile lui Viète pentru P(x)=x3+ax2+bx+cP(x) = x^3 + ax^2 + bx + c, avem: suma rădăcinilor x1+x2+x3=(1+i)+(1−i)+r=2+r=−ax_1 + x_2 + x_3 = (1+i) + (1-i) + r = 2 + r = -a, deci a=−2−ra = -2 - r; suma produselor a câte două rădăcini x1x2+x2x3+x3x1=(1+i)(1−i)+(1−i)r+r(1+i)=2+r(1−i+1+i)=2+2r=bx_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1 = (1+i)(1-i) + (1-i)r + r(1+i) = 2 + r(1-i + 1+i) = 2 + 2r = b; produsul rădăcinilor x1x2x3=(1+i)(1−i)r=2r=−cx_1 x_2 x_3 = (1+i)(1-i)r = 2r = -c, deci c=−2rc = -2r.
34 puncte
Din condiția P(2)=10P(2)=10, avem 8+4a+2b+c=108 + 4a + 2b + c = 10. Înlocuim a,b,ca, b, c cu expresiile în funcție de rr: 8+4(−2−r)+2(2+2r)+(−2r)=8−8−4r+4+4r−2r=4−2r=108 + 4(-2-r) + 2(2+2r) + (-2r) = 8 -8 -4r +4 +4r -2r = 4 -2r = 10. Rezolvăm: 4−2r=10⇒−2r=6⇒r=−34 -2r = 10 \Rightarrow -2r = 6 \Rightarrow r = -3. Atunci a=−2−(−3)=1a = -2 - (-3) = 1, b=2+2(−3)=−4b = 2 + 2(-3) = -4, c=−2(−3)=6c = -2(-3) = 6. Deci P(x)=x3+x2−4x+6P(x) = x^3 + x^2 - 4x + 6.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.