MediuPolinoameClasa 9

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameInducție matematică
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥2n \geq 2, polinomul Pn(X)=Xn−nX+(n−1)P_n(X) = X^n - nX + (n-1) este divizibil cu (X−1)2(X-1)^2.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificăm pentru n=2n=2: P2(X)=X2−2X+1=(X−1)2P_2(X) = X^2 - 2X + 1 = (X-1)^2, deci este divizibil cu (X−1)2(X-1)^2.
23 puncte
Presupunem adevărat pentru n=kn=k, cu k≥2k \geq 2, adică Pk(X)P_k(X) este divizibil cu (X−1)2(X-1)^2. Considerăm Pk+1(X)=Xk+1−(k+1)X+kP_{k+1}(X) = X^{k+1} - (k+1)X + k.
33 puncte
Observăm că Pk+1(X)=X⋅Pk(X)+k(X−1)2P_{k+1}(X) = X \cdot P_k(X) + k(X-1)^2, întrucât X⋅Pk(X)=Xk+1−kX2+(k−1)XX \cdot P_k(X) = X^{k+1} - kX^2 + (k-1)X și Pk+1(X)−X⋅Pk(X)=kX2−2kX+k=k(X−1)2P_{k+1}(X) - X \cdot P_k(X) = kX^2 - 2kX + k = k(X-1)^2.
42 puncte
Din ipoteza de inducție, Pk(X)P_k(X) este divizibil cu (X−1)2(X-1)^2, iar k(X−1)2k(X-1)^2 evident este divizibil, deci Pk+1(X)P_{k+1}(X) este divizibil. Astfel, prin inducție, proprietatea este adevărată pentru toate n≥2n \geq 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.