MediuPolinoameClasa 11

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameProgresii AritmeticeSisteme de Ecuații Liniare
Fie P(x)=x3+ax2+bx+cP(x) = x^3 + ax^2 + bx + c un polinom cu rădăcinile reale în progresie aritmetică. Dacă P(1)=4P(1) = 4 și P(−1)=−2P(-1) = -2, să se determine polinomul.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Fie rădăcinile r−d,r,r+dr-d, r, r+d. Atunci suma rădăcinilor este 3r=−a3r = -a, deci a=−3ra = -3r. Suma produselor două câte două este 3r2−d2=b3r^2 - d^2 = b. Produsul rădăcinilor este r(r2−d2)=−cr(r^2 - d^2) = -c, deci c=−r(r2−d2)c = -r(r^2 - d^2).
22 puncte
Scriem condițiile: P(1)=1+a+b+c=4P(1)=1 + a + b + c = 4 și P(−1)=−1+a−b+c=−2P(-1)=-1 + a - b + c = -2.
32 puncte
Din P(1)=4P(1)=4, obținem 1−3r+b+c=4⇒b+c=3+3r1 -3r + b + c =4 \Rightarrow b+c =3+3r. Din P(−1)=−2P(-1)=-2, obținem −1−3r−b+c=−2⇒c−b=−1+3r-1 -3r - b + c = -2 \Rightarrow c - b = -1 +3r.
42 puncte
Rezolvăm sistemul pentru bb și cc: adunând ecuațiile, 2c=2+6r⇒c=1+3r2c = 2 + 6r \Rightarrow c = 1+3r; scăzând, 2b=4⇒b=22b = 4 \Rightarrow b=2.
51 punct
Din b=3r2−d2=2b=3r^2 - d^2=2, avem d2=3r2−2d^2=3r^2-2. Din c=1+3rc=1+3r și c=−r(r2−d2)c=-r(r^2-d^2), avem −r(r2−d2)=1+3r-r(r^2-d^2)=1+3r. Dar r2−d2=r2−(3r2−2)=−2r2+2r^2-d^2 = r^2 - (3r^2-2) = -2r^2+2, deci −r(−2r2+2)=2r3−2r=1+3r-r(-2r^2+2)=2r^3-2r=1+3r, adică 2r3−5r−1=02r^3-5r-1=0.
61 punct
Rezolvăm ecuația 2r3−5r−1=02r^3-5r-1=0. Se caută rădăcini raționale; nu există, deci ecuația are o rădăcină reală care se determină numeric sau prin metode algebrice. Găsind rr, apoi d2=3r2−2d^2=3r^2-2, și a=−3ra=-3r, b=2b=2, c=1+3rc=1+3r.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.