MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere ComplexeGeometrie Analitică
Fie polinomul P(X)=X4+4P(X) = X^4 + 4. Să se determine toate rădăcinile complexe ale acestui polinom. Să se arate că în planul complex, aceste rădăcini sunt vârfurile unui pătrat și să se calculeze lungimea laturii acestui pătrat.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Rezolvați ecuația X4=−4X^4 = -4. Se scrie −4=4eiπ-4 = 4e^{i\pi}, deci rădăcinile sunt Xk=2ei(π/4+kπ/2)X_k = \sqrt{2} e^{i(\pi/4 + k\pi/2)} pentru k=0,1,2,3k=0,1,2,3, adică X0=1+iX_0 = 1+i, X1=−1+iX_1 = -1+i, X2=−1−iX_2 = -1-i, X3=1−iX_3 = 1-i.
23 puncte
Demonstrați că rădăcinile formează un pătrat. Calculați distanțele: ∣X1−X0∣=∣(−1+i)−(1+i)∣=2|X_1 - X_0| = |(-1+i)-(1+i)| = 2, ∣X2−X1∣=2|X_2 - X_1| = 2, ∣X3−X2∣=2|X_3 - X_2| = 2, ∣X0−X3∣=2|X_0 - X_3| = 2, și unghiurile sunt drepte (de exemplu, (X1−X0)⋅(X3−X0)=0(X_1 - X_0) \cdot (X_3 - X_0) = 0).
33 puncte
Lungimea laturii este 22, deci se calculează direct din distanțe.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.