MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere ComplexeIdentități algebrice
Se consideră polinomul P(x)=x3+px+qP(x) = x^3 + px + q cu coeficienți reali. Știind că una dintre rădăcinile sale este 1+i1 + i, determinați pp și qq, apoi găsiți celelalte două rădăcini.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Deoarece coeficienții sunt reali, rădăcinile complexe apar în perechi conjugate; dacă 1+i1+i este rădăcină, atunci 1−i1-i este și ea rădăcină.
23 puncte
Notăm rădăcinile x1=1+ix_1 = 1+i, x2=1−ix_2 = 1-i, x3x_3. Din relațiile lui Vieta, suma rădăcinilor este 00 (coeficientul lui x2x^2 este 00), deci x1+x2+x3=0x_1 + x_2 + x_3 = 0. Calculăm x1+x2=2x_1 + x_2 = 2, deci x3=−2x_3 = -2.
33 puncte
Produsul rădăcinilor este −q-q. x1x2=(1+i)(1−i)=2x_1 x_2 = (1+i)(1-i) = 2, iar x1x2x3=2⋅(−2)=−4=−qx_1 x_2 x_3 = 2 \cdot (-2) = -4 = -q, deci q=4q = 4.
42 puncte
Suma produselor rădăcinilor luate câte două este pp. Calculăm x1x2+x1x3+x2x3=2+(1+i)(−2)+(1−i)(−2)=2+(−2−2i)+(−2+2i)=−2x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3 = 2 + (1+i)(-2) + (1-i)(-2) = 2 + (-2-2i) + (-2+2i) = -2, deci p=−2p = -2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.