MediuPolinoameClasa 11

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere ComplexeIdentități algebrice
Fie polinomul P(x)=x4+2x3+3x2+2x+1P(x) = x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1. Arătați că P(x)P(x) poate fi scris ca pătratul unui polinom de gradul 2. Determinați rădăcinile complexe ale lui P(x)P(x) și calculați ∑k=141xk\sum_{k=1}^{4} \frac{1}{x_k}, unde xkx_k sunt rădăcinile.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Observați că P(x)=(x2+x+1)2P(x) = (x^2 + x + 1)^2 prin completarea pătratului sau verificarea identității (x2+x+1)2=x4+2x3+3x2+2x+1(x^2 + x + 1)^2 = x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 2x + 1.
23 puncte
Rădăcinile polinomului x2+x+1x^2 + x + 1 sunt −1±i32\frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}, deci rădăcinile lui P(x)P(x) sunt acestea, fiecare cu multiplicitatea 2.
33 puncte
Folosind relațiile lui Viète pentru polinomul original, suma inverselor rădăcinilor este ∑1xk=−coeficientul lui x3coeficientul lui x4=−21=−2\sum \frac{1}{x_k} = -\frac{\text{coeficientul lui } x^3}{\text{coeficientul lui } x^4} = -\frac{2}{1} = -2. Alternativ, se poate calcula direct din rădăcini.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.