MediuPolinoameClasa 11

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere ComplexeDerivate
Fie polinomul P(x)=x4−6x3+14x2−16x+8P(x) = x^4 - 6x^3 + 14x^2 - 16x + 8. Să se arate că P(x)P(x) are o rădăcină dublă și să se determine toate rădăcinile sale complexe.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se calculează derivata polinomului: P′(x)=4x3−18x2+28x−16P'(x) = 4x^3 - 18x^2 + 28x - 16.
23 puncte
Se caută rădăcini comune ale lui PP și P′P'. Se verifică x=2x=2: P(2)=0P(2)=0 și P′(2)=0P'(2)=0, deci x=2x=2 este rădăcină dublă.
32 puncte
Se împarte P(x)P(x) la (x−2)2=x2−4x+4(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4 și se obține câtul x2−2x+2x^2 - 2x + 2.
42 puncte
Se rezolvă ecuația x2−2x+2=0x^2 - 2x + 2 = 0 și se găsesc rădăcinile complexe x=1±ix = 1 \pm i. Deci rădăcinile sunt: x1=x2=2x_1 = x_2 = 2 (dublă) și x3=1+ix_3 = 1+i, x4=1−ix_4 = 1-i.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.