MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere Complexe
Fie polinomul P(X)=X3+aX2+bX+cP(X) = X^3 + aX^2 + bX + c cu coeficienți reali. Știind că P(1+i)=0P(1+i)=0 și că P(1)=2P(1)=2, determinați: a) coeficienții a,b,ca, b, c; b) toate rădăcinile polinomului; c) valoarea lui P(−1)P(-1).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Deoarece coeficienții sunt reali, dacă 1+i1+i este rădăcină, atunci și conjugata sa 1−i1-i este rădăcină. Se scrie P(X)=(X−(1+i))(X−(1−i))(X−r)=(X2−2X+2)(X−r)P(X) = (X - (1+i))(X - (1-i))(X - r) = (X^2 - 2X + 2)(X - r).
23 puncte
Din P(1)=2P(1)=2, se obține (12−2⋅1+2)(1−r)=2⇒1⋅(1−r)=2⇒r=−1(1^2 - 2 \cdot 1 + 2)(1 - r) = 2 \Rightarrow 1 \cdot (1-r) = 2 \Rightarrow r = -1. Apoi se extinde P(X)=(X2−2X+2)(X+1)=X3−X2+0X+2P(X) = (X^2 - 2X + 2)(X + 1) = X^3 - X^2 + 0X + 2, deci a=−1,b=0,c=2a=-1, b=0, c=2.
32 puncte
Rădăcinile polinomului sunt 1+i,1−i,−11+i, 1-i, -1.
42 puncte
Calculăm P(−1)=(−1)3−(−1)2+2=−1−1+2=0P(-1) = (-1)^3 - (-1)^2 + 2 = -1 -1 +2 = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.