MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere ComplexeProgresii Aritmetice
Fie polinomul P(x)=x3−3x2+ax+bP(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b cu a,b∈Ca, b \in \mathbb{C}. Știind că rădăcinile polinomului sunt în progresie aritmetică și că suma pătratelor rădăcinilor este 5, determinați coeficienții aa și bb.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notăm rădăcinile polinomului cu x1,x2,x3x_1, x_2, x_3. Deoarece sunt în progresie aritmetică, le scriem sub forma r−d,r,r+dr-d, r, r+d. Din relațiile lui Viete, suma rădăcinilor este x1+x2+x3=3x_1 + x_2 + x_3 = 3 (coeficientul lui x2x^2 cu semn schimbat), deci 3r=3⇒r=13r = 3 \Rightarrow r=1.
23 puncte
Suma pătratelor rădăcinilor este (1−d)2+12+(1+d)2=3+2d2(1-d)^2 + 1^2 + (1+d)^2 = 3 + 2d^2. Din enunț, 3+2d2=5⇒2d2=2⇒d2=1⇒d=±13 + 2d^2 = 5 \Rightarrow 2d^2 = 2 \Rightarrow d^2 = 1 \Rightarrow d = \pm 1.
34 puncte
Rădăcinile sunt 0,1,20, 1, 2 (pentru d=1d=1 sau d=−1d=-1). Folosind Viete, produsul rădăcinilor este x1x2x3=−bx_1 x_2 x_3 = -b, deci 0⋅1⋅2=0=−b⇒b=00 \cdot 1 \cdot 2 = 0 = -b \Rightarrow b=0. Suma produselor a câte două rădăcini este x1x2+x2x3+x3x1=ax_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1 = a, deci 0⋅1+1⋅2+2⋅0=2=a⇒a=20 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 0 = 2 = a \Rightarrow a=2. Astfel, a=2a=2 și b=0b=0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.