MediuPolinoameClasa 11

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameȘiruri de numere reale
Fie P(x)=2x3−3x2+x−1P(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 1. Determinați polinomul Q(x)Q(x) de gradul 4 astfel încât Q(x+1)−Q(x)=P(x)Q(x+1) - Q(x) = P(x) pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R}. Apoi, calculați suma S=∑k=1nP(k)S = \sum_{k=1}^{n} P(k).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Presupuneți că Q(x)Q(x) are forma Q(x)=Ax4+Bx3+Cx2+Dx+EQ(x) = Ax^4 + Bx^3 + Cx^2 + Dx + E. Calculați Q(x+1)−Q(x)Q(x+1) - Q(x) folosind expansiunea binomială: Q(x+1)−Q(x)=4Ax3+(6A+3B)x2+(4A+3B+2C)x+(A+B+C+D)Q(x+1) - Q(x) = 4Ax^3 + (6A + 3B)x^2 + (4A + 3B + 2C)x + (A + B + C + D). Egalati cu P(x)=2x3−3x2+x−1P(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 1 pentru a obține sistemul: 4A=24A = 2, 6A+3B=−36A + 3B = -3, 4A+3B+2C=14A + 3B + 2C = 1, A+B+C+D=−1A + B + C + D = -1.
23 puncte
Rezolvați sistemul: din prima ecuație, A=12A = \frac{1}{2}; substituiți pentru a găsi B=−13B = -\frac{1}{3}, C=12C = \frac{1}{2}, D=−1D = -1. Constanta EE este arbitrară, alegeți E=0E = 0 pentru simplitate, deci Q(x)=12x4−13x3+12x2−xQ(x) = \frac{1}{2}x^4 - \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - x.
33 puncte
Calculați suma S=∑k=1nP(k)S = \sum_{k=1}^{n} P(k) folosind Q(x)Q(x): S=∑k=1n[Q(k+1)−Q(k)]=Q(n+1)−Q(1)S = \sum_{k=1}^{n} [Q(k+1) - Q(k)] = Q(n+1) - Q(1). Calculați Q(n+1)=12(n+1)4−13(n+1)3+12(n+1)2−(n+1)Q(n+1) = \frac{1}{2}(n+1)^4 - \frac{1}{3}(n+1)^3 + \frac{1}{2}(n+1)^2 - (n+1) și Q(1)=12−13+12−1=−13Q(1) = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{3}. Simplificați pentru a obține S=12n4−13n3+12n2−nS = \frac{1}{2}n^4 - \frac{1}{3}n^3 + \frac{1}{2}n^2 - n.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.