MediuPolinoameClasa 11

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere ComplexeSisteme de Ecuații Liniare
Fie polinomul P(X)=X4+aX3+bX2+cX+dP(X) = X^4 + aX^3 + bX^2 + cX + d cu rădăcinile complexe x1,x2,x3,x4x_1, x_2, x_3, x_4. Se știe că x1+x2=2x_1 + x_2 = 2, x3⋅x4=3x_3 \cdot x_4 = 3, și că P(i)=0P(i) = 0, unde i2=−1i^2 = -1. Să se determine coeficienții reali a,b,c,da, b, c, d.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Scrieți relațiile dintre rădăcini și coeficienți pentru polinomul de gradul 4: x1+x2+x3+x4=−ax_1 + x_2 + x_3 + x_4 = -a, x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4=bx_1 x_2 + x_1 x_3 + x_1 x_4 + x_2 x_3 + x_2 x_4 + x_3 x_4 = b, x1x2x3+x1x2x4+x1x3x4+x2x3x4=−cx_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + x_1 x_3 x_4 + x_2 x_3 x_4 = -c, x1x2x3x4=dx_1 x_2 x_3 x_4 = d.\n
23 puncte
Folosiți condițiile date: din x1+x2=2x_1 + x_2 = 2, notați s=x3+x4s = x_3 + x_4, deci 2+s=−a2 + s = -a; din x3⋅x4=3x_3 \cdot x_4 = 3, aveți d=3⋅x1x2d = 3 \cdot x_1 x_2. Exprimați bb și cc în funcție de x1x2x_1 x_2 și ss folosind relațiile de la step 1.\n
32 puncte
Din P(i)=0P(i) = 0, obțineți i4+ai3+bi2+ci+d=0i^4 + a i^3 + b i^2 + c i + d = 0. Cum i2=−1i^2 = -1, i3=−ii^3 = -i, i4=1i^4 = 1, ecuația devine 1−ai−b+ci+d=01 - a i - b + c i + d = 0. Separați părțile reale și imaginare: 1−b+d=01 - b + d = 0 și −a+c=0-a + c = 0.\n
42 puncte
Rezolvați sistemul format din ecuațiile obținute: 2+s=−a2 + s = -a, d=3x1x2d = 3 x_1 x_2, 1−b+d=01 - b + d = 0, −a+c=0-a + c = 0, și relațiile pentru bb și cc din step 2. De exemplu, dacă presupuneți că x1x_1 și x2x_2 sunt conjugate (pentru coeficienți reali), o soluție este a=−2,b=4,c=−2,d=3a = -2, b = 4, c = -2, d = 3, dar se pot obține și alte soluții în funcție de alegeri; verificați consistența.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.