MediuPolinoameClasa 11

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați polinomul P(x)P(x) de gradul al treilea cu coeficienți reali, știind că P(1)=0P(1)=0, P(2)=4P(2)=4, și că rădăcinile polinomului sunt în progresie aritmetică.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Notăm polinomul în forma generală P(x)=ax3+bx2+cx+dP(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d, cu a≠0a \neq 0.
22 puncte
Din condițiile P(1)=0P(1)=0 și P(2)=4P(2)=4, obținem ecuațiile: a+b+c+d=0a + b + c + d = 0 și 8a+4b+2c+d=48a + 4b + 2c + d = 4.
32 puncte
Deoarece rădăcinile sunt în progresie aritmetică, le notăm r−t,r,r+tr-t, r, r+t, unde rr este termenul mediu și tt rația.
42 puncte
Aplicăm relațiile lui Viète: suma rădăcinilor 3r=−ba3r = -\frac{b}{a}, suma produselor câte două 3r2−t2=ca3r^2 - t^2 = \frac{c}{a}, produsul rădăcinilor r(r2−t2)=−dar(r^2 - t^2) = -\frac{d}{a}.
52 puncte
Din ecuațiile de la pașii anteriori, formăm un sistem și rezolvăm, obținând a=1,b=−3,c=0,d=2a=1, b=-3, c=0, d=2, deci P(x)=x3−3x2+2P(x) = x^3 - 3x^2 + 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.