MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră polinomul P(x)=x4+ax3+bx2+cx+dP(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d cu coeficienți reali. Dacă 2+i2+i este o rădăcină a polinomului, P(0)=5P(0)=5 și suma rădăcinilor este 4, determinați polinomul P(x)P(x).

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Deoarece coeficienții sunt reali, dacă 2+i2+i este rădăcină, atunci și conjugata sa 2−i2-i este rădăcină.
22 puncte
Notăm rădăcinile x1=2+ix_1=2+i, x2=2−ix_2=2-i, x3x_3, x4x_4. Din suma rădăcinilor: x1+x2+x3+x4=4x_1+x_2+x_3+x_4=4, iar x1+x2=4x_1+x_2=4, deci x3+x4=0x_3+x_4=0.
32 puncte
Din P(0)=dP(0)=d, care este produsul rădăcinilor: d=x1⋅x2⋅x3⋅x4d = x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 \cdot x_4. Calculăm x1⋅x2=(2+i)(2−i)=4+1=5x_1 \cdot x_2 = (2+i)(2-i)=4+1=5. Atunci 5⋅x3⋅x4=5  ⟹  x3⋅x4=15 \cdot x_3 \cdot x_4 = 5 \implies x_3 \cdot x_4 = 1.
42 puncte
Avem x3+x4=0x_3+x_4=0 și x3⋅x4=1x_3 \cdot x_4=1, deci x3x_3 și x4x_4 sunt rădăcinile ecuației x2+1=0x^2 + 1 = 0, adică ii și −i-i.
52 puncte
Polinomul este P(x)=(x−(2+i))(x−(2−i))(x−i)(x+i)=(x2−4x+5)(x2+1)P(x) = (x-(2+i))(x-(2-i))(x-i)(x+i) = (x^2 -4x+5)(x^2+1). Efectuăm înmulțirea: (x2−4x+5)(x2+1)=x4+x2−4x3−4x+5x2+5=x4−4x3+6x2−4x+5(x^2 -4x+5)(x^2+1) = x^4 + x^2 -4x^3 -4x +5x^2+5 = x^4 -4x^3 +6x^2 -4x+5.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.