MediuPolinoameClasa 9

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameProgresii Geometrice
Fie polinomul P(x)=x3−3x2+ax+bP(x) = x^3 - 3x^2 + ax + b cu coeficienții reali aa și bb. Determinați aa și bb știind că rădăcinile polinomului sunt distincte și în progresie geometrică, iar suma rădăcinilor este 3.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Aplicăm relațiile lui Viète: suma rădăcinilor x1+x2+x3=3x_1 + x_2 + x_3 = 3 (coeficientul lui x2x^2 cu semn schimbat).
24 puncte
Notăm rădăcinile în progresie geometrică: x1,x1q,x1q2x_1, x_1 q, x_1 q^2 cu q≠1q \neq 1. Atunci x1(1+q+q2)=3x_1(1+q+q^2)=3. Produsul rădăcinilor este x13q3=−bx_1^3 q^3 = -b și suma produselor două câte două este x12q(1+q+q2)=ax_1^2 q(1+q+q^2) = a.
33 puncte
Din x1(1+q+q2)=3x_1(1+q+q^2)=3 și q≠1q \neq 1, considerăm x1=1x_1=1 (altfel, din simetrie). Atunci 1+q+q2=3⇒q2+q−2=0⇒q=−21+q+q^2=3 \Rightarrow q^2+q-2=0 \Rightarrow q=-2 (deoarece q=1q=1 este exclus). Așadar, rădăcinile sunt 1,−2,41, -2, 4. Calculăm a=1⋅(−2)+(−2)⋅4+4⋅1=−6a = 1\cdot(-2) + (-2)\cdot4 + 4\cdot1 = -6 și b=−1⋅(−2)⋅4=8b = -1\cdot(-2)\cdot4 = 8.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.