MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere ComplexeIdentități algebrice
Se consideră polinomul Q(x)=x4+ax3+bx2+cx+dQ(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d cu rădăcinile x1,x2,x3,x4x_1, x_2, x_3, x_4. Știind că x1+x2=5x_1 + x_2 = 5, x1x2=6x_1 x_2 = 6, iar x3x_3 și x4x_4 sunt rădăcinile ecuației x2−4x+5=0x^2 - 4x + 5 = 0, să se determine coeficientul aa și să se calculeze x12+x22+x32+x42x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Din x1+x2=5x_1 + x_2 = 5 și x1x2=6x_1 x_2 = 6, rezultă că x1x_1 și x2x_2 sunt rădăcinile ecuației t2−5t+6=0t^2 - 5t + 6 = 0, deci x1=2x_1=2, x2=3x_2=3 sau invers.
23 puncte
Ecuația x2−4x+5=0x^2 - 4x + 5 = 0 are discriminantul Δ=16−20=−4\Delta = 16 - 20 = -4, deci rădăcinile sunt x3=2+ix_3 = 2+i și x4=2−ix_4 = 2-i (unde i2=−1i^2 = -1).
32 puncte
Suma rădăcinilor polinomului Q(x)Q(x) este S1=x1+x2+x3+x4=2+3+(2+i)+(2−i)=9S_1 = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 2 + 3 + (2+i) + (2-i) = 9, iar din relațiile lui Viète, S1=−aS_1 = -a, deci a=−9a = -9.
42 puncte
Calculăm x12+x22+x32+x42x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2: x12=4x_1^2=4, x22=9x_2^2=9, (2+i)2=4+4i+i2=4+4i−1=3+4i(2+i)^2 = 4+4i+i^2 = 4+4i-1=3+4i, (2−i)2=3−4i(2-i)^2=3-4i, suma pătratelor pentru x3x_3 și x4x_4 este (3+4i)+(3−4i)=6(3+4i)+(3-4i)=6, deci totalul este 4+9+6=194+9+6=19.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.