MediuPolinoameClasa 9

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameProgresii GeometriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie polinomul P(x)=x3+ax2+bx+cP(x) = x^3 + ax^2 + bx + c cu coeficienți reali. Rădăcinile polinomului sunt în progresie geometrică. Dacă suma rădăcinilor este 14 și suma pătratelor rădăcinilor este 84, determină coeficienții aa, bb, cc și rădăcinile.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scriem relațiile dintre rădăcini și coeficienți: fie α,β,γ\alpha, \beta, \gamma rădăcinile, atunci α+β+γ=−a\alpha + \beta + \gamma = -a, αβ+βγ+γα=b\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = b, αβγ=−c\alpha\beta\gamma = -c. Din enunț, α+β+γ=14\alpha + \beta + \gamma = 14 și α2+β2+γ2=84\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 = 84.
24 puncte
Folosind identitatea (α+β+γ)2=α2+β2+γ2+2(αβ+βγ+γα)(\alpha + \beta + \gamma)^2 = \alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2 + 2(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha), obținem 142=84+2b14^2 = 84 + 2b, deci b=56b = 56. Deoarece rădăcinile sunt în progresie geometrică, avem β2=αγ\beta^2 = \alpha\gamma.
33 puncte
Considerăm α,β,γ\alpha, \beta, \gamma în progresie geometrică cu rația rr, deci β=αr\beta = \alpha r, γ=αr2\gamma = \alpha r^2. Din α+αr+αr2=14\alpha + \alpha r + \alpha r^2 = 14 și α2+α2r2+α2r4=84\alpha^2 + \alpha^2 r^2 + \alpha^2 r^4 = 84, rezolvăm: din prima, α(1+r+r2)=14\alpha(1 + r + r^2) = 14; din a doua, α2(1+r2+r4)=84\alpha^2(1 + r^2 + r^4) = 84. Împărțind și simplificând, găsim r=2r = 2 sau r=12r = \frac{1}{2}, iar α=2\alpha = 2 sau α=8\alpha = 8. Rădăcinile sunt 2,4,82, 4, 8 sau 8,4,28, 4, 2, care sunt aceleași. Atunci a=−14a = -14, b=56b = 56, c=−64c = -64.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.