MediuPolinoameClasa 9

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameIdentități algebrice
Fie polinomul P(x)=x4+ax3+bx2+cx+dP(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d cu rădăcinile reale x1,x2,x3,x4x_1, x_2, x_3, x_4. Se cunosc următoarele relații: x1+x2=5x_1 + x_2 = 5, x3+x4=3x_3 + x_4 = 3, x1x2=6x_1 x_2 = 6, și x3x4=2x_3 x_4 = 2. Determinați coeficienții reali a,b,c,da, b, c, d.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scriem relațiile lui Viete pentru polinomul de gradul 4: suma rădăcinilor x1+x2+x3+x4=−ax_1 + x_2 + x_3 + x_4 = -a, suma produselor două câte două x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4=bx_1 x_2 + x_1 x_3 + x_1 x_4 + x_2 x_3 + x_2 x_4 + x_3 x_4 = b, suma produselor trei câte trei x1x2x3+x1x2x4+x1x3x4+x2x3x4=−cx_1 x_2 x_3 + x_1 x_2 x_4 + x_1 x_3 x_4 + x_2 x_3 x_4 = -c, și produsul rădăcinilor x1x2x3x4=dx_1 x_2 x_3 x_4 = d.
24 puncte
Din date, x1+x2=5x_1 + x_2 = 5 și x3+x4=3x_3 + x_4 = 3, deci suma rădăcinilor este 88, de unde a=−8a = -8. Produsul x1x2=6x_1 x_2 = 6 și x3x4=2x_3 x_4 = 2, deci d=6⋅2=12d = 6 \cdot 2 = 12. Pentru bb, calculăm suma produselor două câte două: x1x2+(x1+x2)(x3+x4)+x3x4=6+5⋅3+2=23x_1 x_2 + (x_1 + x_2)(x_3 + x_4) + x_3 x_4 = 6 + 5 \cdot 3 + 2 = 23, deci b=23b = 23. Pentru cc, calculăm suma produselor trei câte trei: x1x2(x3+x4)+x3x4(x1+x2)=6⋅3+2⋅5=28x_1 x_2 (x_3 + x_4) + x_3 x_4 (x_1 + x_2) = 6 \cdot 3 + 2 \cdot 5 = 28, deci c=−28c = -28.
33 puncte
Deci coeficienții sunt a=−8a = -8, b=23b = 23, c=−28c = -28, d=12d = 12. Polinomul este P(x)=x4−8x3+23x2−28x+12P(x) = x^4 - 8x^3 + 23x^2 - 28x + 12.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.