MediuPolinoameClasa 12

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameIntegrale definite
Fie P(X)P(X) un polinom de gradul 2. Știind că ∫01P(x)dx=2\int_0^1 P(x) dx = 2, ∫02P(x)dx=6\int_0^2 P(x) dx = 6 și P(1)=3P(1) = 3, determinați polinomul P(X)P(X).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Fie P(X)=aX2+bX+cP(X) = aX^2 + bX + c. Atunci ∫01P(x)dx=∫01(ax2+bx+c)dx=[a3x3+b2x2+cx]01=a3+b2+c=2\int_0^1 P(x) dx = \int_0^1 (ax^2 + bx + c) dx = \left[ \frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + c x \right]_0^1 = \frac{a}{3} + \frac{b}{2} + c = 2.
23 puncte
∫02P(x)dx=∫02(ax2+bx+c)dx=[a3x3+b2x2+cx]02=8a3+2b+2c=6\int_0^2 P(x) dx = \int_0^2 (ax^2 + bx + c) dx = \left[ \frac{a}{3}x^3 + \frac{b}{2}x^2 + c x \right]_0^2 = \frac{8a}{3} + 2b + 2c = 6.
32 puncte
P(1)=a+b+c=3P(1) = a + b + c = 3.
42 puncte
Rezolvăm sistemul: din a+b+c=3a + b + c = 3, avem c=3−a−bc = 3 - a - b. Înlocuim în prima ecuație: a3+b2+3−a−b=2⇒−2a3−b2=−1⇒2a3+b2=1\frac{a}{3} + \frac{b}{2} + 3 - a - b = 2 \Rightarrow -\frac{2a}{3} - \frac{b}{2} = -1 \Rightarrow \frac{2a}{3} + \frac{b}{2} = 1. Înlocuim în a doua ecuație: 8a3+2b+2(3−a−b)=6⇒8a3−2a=0⇒2a3=0⇒a=0\frac{8a}{3} + 2b + 2(3 - a - b) = 6 \Rightarrow \frac{8a}{3} - 2a = 0 \Rightarrow \frac{2a}{3} = 0 \Rightarrow a=0. Atunci din 2a3+b2=1\frac{2a}{3} + \frac{b}{2} = 1, avem b2=1⇒b=2\frac{b}{2} = 1 \Rightarrow b=2, iar din c=3−0−2=1c = 3 - 0 - 2 = 1. Deci P(X)=2X+1P(X) = 2X + 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.