MediuPolinoameClasa 9

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie polinomul P(x)=x3+ax2+bx+cP(x) = x^3 + ax^2 + bx + c cu coeficienți reali. Știind că rădăcinile sale sunt în progresie aritmetică, suma lor este 6 și suma pătratelor lor este 14, determinați polinomul P(x)P(x).

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Deoarece rădăcinile sunt în progresie aritmetică și suma lor este 6, notăm rădăcinile x1=r−dx_1 = r-d, x2=rx_2 = r, x3=r+dx_3 = r+d. Din x1+x2+x3=3r=6x_1 + x_2 + x_3 = 3r = 6, obținem r=2r=2.
22 puncte
Suma pătratelor rădăcinilor: x12+x22+x32=(2−d)2+22+(2+d)2=14x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = (2-d)^2 + 2^2 + (2+d)^2 = 14.
32 puncte
Calculăm: (2−d)2=4−4d+d2(2-d)^2 = 4 -4d + d^2, (2+d)2=4+4d+d2(2+d)^2 = 4 +4d + d^2. Atunci 4−4d+d2+4+4+4d+d2=12+2d2=14  ⟹  2d2=2  ⟹  d2=1  ⟹  d=±14 -4d + d^2 +4 +4 +4d + d^2 = 12 + 2d^2 = 14 \implies 2d^2 = 2 \implies d^2 = 1 \implies d = \pm 1.
42 puncte
Rădăcinile sunt: pentru d=1d=1: 1,2,31,2,3; pentru d=−1d=-1: 3,2,13,2,1 (aceleași). Deci polinomul este P(x)=(x−1)(x−2)(x−3)P(x) = (x-1)(x-2)(x-3).
52 puncte
Efectuăm înmulțirea: (x−1)(x−2)(x−3)=(x2−3x+2)(x−3)=x3−3x2−3x2+9x+2x−6=x3−6x2+11x−6(x-1)(x-2)(x-3) = (x^2 -3x+2)(x-3) = x^3 -3x^2 -3x^2 +9x +2x -6 = x^3 -6x^2 +11x -6. Prin urmare, a=−6a=-6, b=11b=11, c=−6c=-6.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.