MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere Complexe
Fie P(x)P(x) un polinom cu coeficienți reali de gradul patru astfel încât P(i)=0P(i) = 0 și P(1−i)=0P(1-i) = 0, unde ii este unitatea imaginară. Știind că P(0)=5P(0) = 5, determinați polinomul P(x)P(x).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Deoarece polinomul are coeficienți reali, rădăcinile complexe apar în perechi conjugate. Din P(i)=0P(i)=0 și P(1−i)=0P(1-i)=0, rezultă că −i-i și 1+i1+i sunt și ele rădăcini.
23 puncte
Polinomul se poate scrie ca P(x)=k(x−i)(x+i)(x−(1−i))(x−(1+i))=k(x2+1)((x−1)2+1)=k(x2+1)(x2−2x+2)P(x) = k (x-i)(x+i)(x-(1-i))(x-(1+i)) = k (x^2+1)((x-1)^2 +1) = k (x^2+1)(x^2 -2x+2).
32 puncte
Calculăm P(0)=k(02+1)(02−2∗0+2)=2kP(0) = k (0^2+1)(0^2 -2*0+2) = 2k. Din condiția P(0)=5P(0)=5, avem 2k=52k=5, deci k=52k=\frac{5}{2}.
42 puncte
Obținem polinomul P(x)=52(x2+1)(x2−2x+2)=52(x4−2x3+3x2−2x+2)P(x) = \frac{5}{2} (x^2+1)(x^2-2x+2) = \frac{5}{2} (x^4 -2x^3 +3x^2 -2x+2).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.