MediuPolinoameClasa 9

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie polinomul P(x)=x3+px2+qx+rP(x) = x^3 + px^2 + qx + r cu coeficienți reali. Rădăcinile lui PP sunt în progresie aritmetică. Știind că P(2)=0P(2) = 0 și P(0)=−6P(0) = -6, determinați rădăcinile polinomului și coeficienții p,q,rp, q, r.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Notăm rădăcinile polinomului în progresie aritmetică: a−d,a,a+da-d, a, a+d.
22 puncte
Din P(2)=0P(2)=0, deducem că 22 este o rădăcină, deci putem alege a=2a=2. Astfel, rădăcinile sunt 2−d,2,2+d2-d, 2, 2+d.
32 puncte
Din P(0)=−6P(0) = -6, avem r=−6r = -6. Folosind formula pentru produsul rădăcinilor, (2−d)⋅2⋅(2+d)=−r=6(2-d) \cdot 2 \cdot (2+d) = -r = 6.
42 puncte
Rezolvăm ecuația: 2(4−d2)=6⇒4−d2=3⇒d2=1⇒d=±12(4-d^2) = 6 \Rightarrow 4-d^2 = 3 \Rightarrow d^2 = 1 \Rightarrow d = \pm 1. Deci rădăcinile sunt 1,2,31, 2, 3 sau 3,2,13, 2, 1 (aceleași mulțime).
52 puncte
Calculăm coeficienții folosind relațiile lui Viète: p=−(1+2+3)=−6p = -(1+2+3) = -6, q=1⋅2+2⋅3+3⋅1=11q = 1\cdot2 + 2\cdot3 + 3\cdot1 = 11, și r=−1⋅2⋅3=−6r = -1\cdot2\cdot3 = -6.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.