MediuPolinoameClasa 9

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameProgresii Aritmetice
Fie polinomul P(X)=X3+mX2+nX+pP(X) = X^3 + mX^2 + nX + p cu coeficienți reali. Rădăcinile lui PP sunt în progresie aritmetică, suma rădăcinilor este 6, iar produsul lor este -6. Determinați coeficienții m,n,pm, n, p.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notăm rădăcinile polinomului ca fiind a−d,a,a+da-d, a, a+d, unde aa și dd sunt numere reale.
24 puncte
Folosind relațiile lui Viète, avem că suma rădăcinilor este (a−d)+a+(a+d)=3a=6(a-d) + a + (a+d) = 3a = 6, deci a=2a=2. Produsul rădăcinilor este (a−d)⋅a⋅(a+d)=a(a2−d2)=2(4−d2)=−6(a-d) \cdot a \cdot (a+d) = a(a^2 - d^2) = 2(4 - d^2) = -6, de unde 4−d2=−34 - d^2 = -3, adică d2=7d^2 = 7, deci d=7d = \sqrt{7} sau d=−7d = -\sqrt{7}.
33 puncte
Coeficienții polinomului sunt: m=−(suma ra˘da˘cinilor)=−6m = - (\text{suma rădăcinilor}) = -6, n=(a−d)a+a(a+d)+(a−d)(a+d)=a2−ad+a2+ad+a2−d2=3a2−d2=3⋅4−7=12−7=5n = (a-d)a + a(a+d) + (a-d)(a+d) = a^2 - ad + a^2 + ad + a^2 - d^2 = 3a^2 - d^2 = 3 \cdot 4 - 7 = 12 - 7 = 5, și p=−(a−d)⋅a⋅(a+d)=−a(a2−d2)=−2(4−7)=−2⋅(−3)=6p = - (a-d) \cdot a \cdot (a+d) = - a(a^2 - d^2) = -2(4-7) = -2 \cdot (-3) = 6. Deci m=−6,n=5,p=6m=-6, n=5, p=6.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.