MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere Complexe
Fie polinomul P(X)=X4+aX3+bX2+cX+dP(X) = X^4 + aX^3 + bX^2 + cX + d cu coeficienți reali. Știind că P(i)=0P(i) = 0 și P(1+i)=0P(1+i) = 0, unde ii este unitatea imaginară, determinați coeficienții a,b,c,da, b, c, d și descompuneți P(X)P(X) în factori ireductibili peste R\mathbb{R}.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Deoarece coeficienții sunt reali, dacă ii este rădăcină, atunci și −i-i este rădăcină.
22 puncte
Deoarece 1+i1+i este rădăcină, atunci și 1−i1-i este rădăcină.
33 puncte
Scriem polinomul ca produs de factori: P(X)=(X−i)(X+i)(X−(1+i))(X−(1−i))P(X) = (X-i)(X+i)(X-(1+i))(X-(1-i)).
42 puncte
Calculăm produsele: (X−i)(X+i)=X2+1(X-i)(X+i) = X^2+1 și (X−(1+i))(X−(1−i))=X2−2X+2(X-(1+i))(X-(1-i)) = X^2 -2X +2.
51 punct
Înmulțim pentru a obține P(X)=X4−2X3+3X2−2X+2P(X) = X^4 -2X^3 +3X^2 -2X +2, deci a=−2,b=3,c=−2,d=2a=-2, b=3, c=-2, d=2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.