MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere ComplexeGeometrie Analitică
Determinați rădăcinile complexe ale polinomului P(X)=X4+1P(X) = X^4 + 1 și demonstrați că acestea reprezintă vârfurile unui pătrat în planul complex.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Scriem X4=−1X^4 = -1. Folosind forma polară, −1=eiπ-1 = e^{i\pi}, deci rădăcinile sunt Xk=ei(π+2kπ)/4X_k = e^{i(\pi + 2k\pi)/4} pentru k=0,1,2,3k=0,1,2,3, adică X0=eiπ/4=22+i22X_0 = e^{i\pi/4} = \frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}, X1=ei3π/4=−22+i22X_1 = e^{i3\pi/4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}, X2=ei5π/4=−22−i22X_2 = e^{i5\pi/4} = -\frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}, X3=ei7π/4=22−i22X_3 = e^{i7\pi/4} = \frac{\sqrt{2}}{2} - i\frac{\sqrt{2}}{2}.
23 puncte
Considerăm punctele în planul complex A(X0),B(X1),C(X2),D(X3)A(X_0), B(X_1), C(X_2), D(X_3). Calculăm distanțele: ∣AB∣=∣X1−X0∣=∣−2+0i∣=2|AB| = |X_1 - X_0| = | -\sqrt{2} + 0i | = \sqrt{2}, ∣BC∣=∣X2−X1∣=∣0−i2∣=2|BC| = |X_2 - X_1| = |0 - i\sqrt{2}| = \sqrt{2}, ∣CD∣=∣X3−X2∣=∣2+0i∣=2|CD| = |X_3 - X_2| = |\sqrt{2} + 0i| = \sqrt{2}, ∣DA∣=∣X0−X3∣=∣0+i2∣=2|DA| = |X_0 - X_3| = |0 + i\sqrt{2}| = \sqrt{2}, deci toate laturile sunt egale.
33 puncte
Verificăm unghiurile: arg⁡(X1−X0)=π\arg(X_1 - X_0) = \pi, arg⁡(X2−X1)=3π/2\arg(X_2 - X_1) = 3\pi/2, diferența este π/2\pi/2, deci ∠ABC=90∘\angle ABC = 90^\circ. Similar, arg⁡(X3−X2)=0\arg(X_3 - X_2) = 0, arg⁡(X0−X3)=π/2\arg(X_0 - X_3) = \pi/2, diferența π/2\pi/2, etc., deci toate unghiurile sunt drepte. Astfel, ABCD este pătrat.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.