MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere Complexe
Se consideră polinomul P(x)=x3+ax2+bx+cP(x) = x^3 + ax^2 + bx + c cu coeficienți reali. Știind că una dintre rădăcini este 1+2i1+2i și că P(0)=10P(0)=10, determinați coeficienții a,b,ca, b, c și scrieți polinomul în formă factorizată.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Deoarece coeficienții sunt reali, dacă 1+2i1+2i este rădăcină, atunci și conjugata sa 1−2i1-2i este rădăcină. Fie rr a treia rădăcină.
23 puncte
Folosind relațiile lui Viete, avem că suma rădăcinilor: (1+2i)+(1−2i)+r=−a(1+2i) + (1-2i) + r = -a, deci 2+r=−a2 + r = -a. Suma produselor rădăcinilor câte două: (1+2i)(1−2i)+(1+2i)r+(1−2i)r=b(1+2i)(1-2i) + (1+2i)r + (1-2i)r = b, adică 1+4+r(1+2i+1−2i)=5+2r=b1+4 + r(1+2i+1-2i) = 5 + 2r = b. Produsul rădăcinilor: (1+2i)(1−2i)r=5r=−c(1+2i)(1-2i)r = 5r = -c.
32 puncte
Din P(0)=c=10P(0)=c=10, deci c=10c=10. Atunci din 5r=−c=−105r = -c = -10, obținem r=−2r = -2.
42 puncte
Din 2+r=−a2 + r = -a, cu r=−2r=-2, avem 2−2=0=−a2 -2 =0 = -a, deci a=0a=0. Din 5+2r=b5 + 2r = b, cu r=−2r=-2, avem 5−4=1=b5 -4 =1 = b. Așadar, a=0a=0, b=1b=1, c=10c=10. Polinomul factorizat este P(x)=(x−(1+2i))(x−(1−2i))(x+2)=(x2−2x+5)(x+2)P(x) = (x - (1+2i))(x - (1-2i))(x +2) = (x^2 -2x +5)(x+2).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.