MediuPolinoameClasa 9

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameProgresii Aritmetice
Polinomul P(x)=x3−3x2+mx+nP(x) = x^3 - 3x^2 + mx + n are rădăcinile în progresie aritmetică. a) Exprimați mm și nn în funcție de primul termen și rația progresiei. b) Determinați mm și nn astfel încât suma pătratelor rădăcinilor să fie 6.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se notează rădăcinile în progresie aritmetică: x1=a−rx_1 = a - r, x2=ax_2 = a, x3=a+rx_3 = a + r. Din relațiile lui Viète, suma rădăcinilor este x1+x2+x3=−(−3)=3x_1 + x_2 + x_3 = -(-3) = 3, deci 3a=3  ⟹  a=13a = 3 \implies a = 1.
24 puncte
Suma produselor rădăcinilor două câte două este mm, adică x1x2+x2x3+x3x1=mx_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1 = m. Calculând: (a−r)a+a(a+r)+(a+r)(a−r)=a2−ar+a2+ar+a2−r2=3a2−r2=3−r2=m(a-r)a + a(a+r) + (a+r)(a-r) = a^2 - ar + a^2 + ar + a^2 - r^2 = 3a^2 - r^2 = 3 - r^2 = m. Produsul rădăcinilor este −n-n, adică x1x2x3=−nx_1 x_2 x_3 = -n. Calculând: (a−r)a(a+r)=a(a2−r2)=1⋅(1−r2)=−n  ⟹  n=r2−1(a-r)a(a+r) = a(a^2 - r^2) = 1 \cdot (1 - r^2) = -n \implies n = r^2 - 1.
33 puncte
Suma pătratelor rădăcinilor este x12+x22+x32=(a−r)2+a2+(a+r)2=3a2+2r2=3+2r2=6  ⟹  2r2=3  ⟹  r2=32x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = (a-r)^2 + a^2 + (a+r)^2 = 3a^2 + 2r^2 = 3 + 2r^2 = 6 \implies 2r^2 = 3 \implies r^2 = \frac{3}{2}. Atunci, m=3−r2=3−32=32m = 3 - r^2 = 3 - \frac{3}{2} = \frac{3}{2} și n=r2−1=32−1=12n = r^2 - 1 = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.