MediuPolinoameClasa 9

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameInducție matematicăTrigonometrie
Se consideră șirul de polinoame definit prin P0(X)=1P_0(X) = 1, P1(X)=XP_1(X) = X, și Pn+1(X)=2XPn(X)−Pn−1(X)P_{n+1}(X) = 2X P_n(X) - P_{n-1}(X) pentru n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție că pentru orice n∈Nn \in \mathbb{N}, Pn(cos⁡θ)=cos⁡(nθ)P_n(\cos \theta) = \cos(n\theta) pentru orice θ∈R\theta \in \mathbb{R}. Apoi, deduceți că rădăcinile polinomului Pn(X)P_n(X) sunt cos⁡(2k−12nπ)\cos\left(\frac{2k-1}{2n}\pi\right) pentru k=1,2,…,nk=1,2,\dots,n.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Verificăm baza inducției: pentru n=0, P0(cos⁡θ)=1=cos⁡(0⋅θ)P_0(\cos\theta)=1=\cos(0\cdot\theta); pentru n=1, P1(cos⁡θ)=cos⁡θ=cos⁡(1⋅θ)P_1(\cos\theta)=\cos\theta=\cos(1\cdot\theta).
24 puncte
Presupunem adevărat pentru n și n-1: Pn(cos⁡θ)=cos⁡(nθ)P_n(\cos\theta)=\cos(n\theta) și Pn−1(cos⁡θ)=cos⁡((n−1)θ)P_{n-1}(\cos\theta)=\cos((n-1)\theta). Atunci, Pn+1(cos⁡θ)=2cos⁡θ⋅cos⁡(nθ)−cos⁡((n−1)θ)P_{n+1}(\cos\theta)=2\cos\theta \cdot \cos(n\theta) - \cos((n-1)\theta). Folosind identitatea trigonometrică cos⁡α+cos⁡β=2cos⁡α+β2cos⁡α−β2\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} sau formula pentru cos⁡((n+1)θ)\cos((n+1)\theta), obținem Pn+1(cos⁡θ)=cos⁡((n+1)θ)P_{n+1}(\cos\theta)=\cos((n+1)\theta).
33 puncte
Pentru a găsi rădăcinile, rezolvăm Pn(X)=0P_n(X)=0, adică cos⁡(nθ)=0\cos(n\theta)=0 cu X=cos⁡θX=\cos\theta. Deci nθ=π2+kπn\theta = \frac{\pi}{2} + k\pi, k∈Zk \in \mathbb{Z}. Atunci θ=π2n+kπn\theta = \frac{\pi}{2n} + \frac{k\pi}{n}, și X=cos⁡(π2n+kπn)X=\cos\left(\frac{\pi}{2n} + \frac{k\pi}{n}\right). Pentru k=0,1,…,n−1k=0,1,\dots,n-1, obținem nn valori distincte: cos⁡(2k+12nπ)\cos\left(\frac{2k+1}{2n}\pi\right), care prin reindexare sunt cos⁡(2k−12nπ)\cos\left(\frac{2k-1}{2n}\pi\right) pentru k=1,2,…,nk=1,2,\dots,n.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.