MediuPolinoameClasa 11

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameSisteme de Ecuații Liniare
Se consideră polinoamele f(x)=x3+ax2+bx+cf(x) = x^3 + ax^2 + bx + c și g(x)=x2+x+1g(x) = x^2 + x + 1, cu a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Determinați a,b,ca, b, c astfel încât f(x)f(x) să fie divizibil cu g(x)g(x) și restul împărțirii lui f(x)f(x) la x−1x-1 să fie 5.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
14 puncte
Pentru divizibilitate, restul împărțirii lui f(x)f(x) la g(x)g(x) trebuie să fie zero. Folosim împărțirea polinomială: f(x)=(x2+x+1)(x+(a−1))+R(x)f(x) = (x^2 + x + 1)(x + (a-1)) + R(x), unde R(x)=(b−a)x+(c−a+1)R(x) = (b-a)x + (c - a + 1).
23 puncte
Condiția de divizibilitate impune b−a=0b-a = 0 și c−a+1=0c - a + 1 = 0, deci b=ab = a și c=a−1c = a - 1.
32 puncte
Din teorema restului, f(1)=5f(1) = 5. Calculăm f(1)=1+a+b+c=1+a+a+(a−1)=3a=5f(1) = 1 + a + b + c = 1 + a + a + (a-1) = 3a = 5, deci a=53a = \frac{5}{3}.
41 punct
Atunci b=53b = \frac{5}{3} și c=53−1=23c = \frac{5}{3} - 1 = \frac{2}{3}. Verificare: f(x)=x3+53x2+53x+23f(x) = x^3 + \frac{5}{3}x^2 + \frac{5}{3}x + \frac{2}{3} satisface ambele condiții.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.