MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameProgresii AritmeticeNumere Complexe
Fie polinomul P(X)=X3+aX2+bX+cP(X) = X^3 + aX^2 + bX + c cu coeficienți reali. Se știe că P(1)=0P(1) = 0, P(2)=6P(2) = 6, și că rădăcinile polinomului sunt în progresie aritmetică. Determinați coeficienții a,b,ca, b, c și rădăcinile polinomului.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Din P(1)=0P(1)=0, obținem 1+a+b+c=01 + a + b + c = 0, deci a+b+c=−1a + b + c = -1.
22 puncte
Din P(2)=6P(2)=6, obținem 8+4a+2b+c=68 + 4a + 2b + c = 6, deci 4a+2b+c=−24a + 2b + c = -2.
32 puncte
Deoarece P(1)=0P(1)=0, X=1X=1 este o rădăcină. Rădăcinile sunt în progresie aritmetică, deci le notăm 1−d,1,1+d1-d, 1, 1+d cu d∈Rd \in \mathbb{R}.
42 puncte
Folosind relațiile Viète, suma rădăcinilor este (1−d)+1+(1+d)=3=−a(1-d) + 1 + (1+d) = 3 = -a, deci a=−3a = -3.
52 puncte
Substituind a=−3a = -3: din a+b+c=−1a + b + c = -1 avem −3+b+c=−1-3 + b + c = -1, deci b+c=2b + c = 2; din 4a+2b+c=−24a + 2b + c = -2 avem −12+2b+c=−2-12 + 2b + c = -2, deci 2b+c=102b + c = 10. Rezolvând, obținem b=8b = 8, c=−6c = -6. Din relațiile Viète, b=(1−d)⋅1+(1−d)(1+d)+1⋅(1+d)=3−d2=8b = (1-d)\cdot1 + (1-d)(1+d) + 1\cdot(1+d) = 3 - d^2 = 8, deci d2=−5d^2 = -5, adică d=±i5d = \pm i\sqrt{5}. Rădăcinile sunt 1−i51 - i\sqrt{5}, 11, 1+i51 + i\sqrt{5}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.