MediuPolinoameClasa 11

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameDerivateStudiul funcțiilor
Fie P(x)=x5−5x3+5x−1P(x) = x^5 - 5x^3 + 5x - 1. Să se determine intervalele de monotonie și punctele de extrem local ale funcției f(x)=P(x)f(x) = P(x).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Calculați derivata: P′(x)=5x4−15x2+5=5(x4−3x2+1)P'(x) = 5x^4 - 15x^2 + 5 = 5(x^4 - 3x^2 + 1).
24 puncte
Rezolvați P′(x)=0P'(x)=0, adică x4−3x2+1=0x^4 - 3x^2 + 1=0. Se notează y=x2y=x^2, obținând y2−3y+1=0y^2 - 3y + 1=0. Soluțiile sunt y=3±52y = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}. Deci x=±3+52x = \pm \sqrt{\frac{3 + \sqrt{5}}{2}} sau x=±3−52x = \pm \sqrt{\frac{3 - \sqrt{5}}{2}}, adică patru rădăcini reale distincte.
33 puncte
Studiați semnul lui P′(x)P'(x) pe intervalele determinate de rădăcinile derivatei. De exemplu, pentru xx în (−∞,−3+52)(-\infty, -\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}}), P′(x)>0P'(x)>0 (crescătoare), apoi semne alternează la fiecare rădăcină. Punctele de extrem sunt în rădăcinile derivatei: maxime locale unde derivata trece de la pozitiv la negativ, și minime locale unde trece de la negativ la pozitiv.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.