MediuPolinoameClasa 9

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră polinomul P(x)=x3+ax2+bx+cP(x) = x^3 + ax^2 + bx + c cu coeficienți reali. Știind că P(x)P(x) se divide cu (x−1)2(x-1)^2 și că P(0)=2P(0)=2, determinați coeficienții a,b,ca, b, c și rezolvați ecuația P(x)=0P(x)=0.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
14 puncte
Deoarece P(x)P(x) este divizibil cu (x−1)2(x-1)^2, avem P(1)=0P(1)=0 și P′(1)=0P'(1)=0.
22 puncte
Din P(0)=2P(0)=2, obținem c=2c=2.
32 puncte
Scriem ecuațiile: P(1)=1+a+b+2=0⇒a+b=−3P(1)=1+a+b+2=0 \Rightarrow a+b=-3 și P′(1)=3+2a+b=0⇒2a+b=−3P'(1)=3+2a+b=0 \Rightarrow 2a+b=-3. Rezolvând sistemul, se obține a=0a=0, b=−3b=-3.
42 puncte
Polinomul devine P(x)=x3−3x+2P(x)=x^3 -3x +2. Rezolvăm x3−3x+2=0x^3 -3x +2=0: observăm că x=1x=1 este rădăcină, factorizăm (x−1)(x2+x−2)=0(x-1)(x^2+x-2)=0, deci rădăcinile sunt x1=1x_1=1 (dublă) și x2=−2x_2=-2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.