MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere Complexe
Fie polinomul P(x)=x3+ax2+bx+cP(x) = x^3 + ax^2 + bx + c cu coeficienți reali. Știind că rădăcinile sale sunt numere complexe conjugate și că suma pătratelor rădăcinilor este 10, iar produsul lor este 8, determinați coeficienții aa, bb și cc.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Notăm rădăcinile cu x1,x2,x3x_1, x_2, x_3. Din relațiile lui Vieta, avem x1+x2+x3=−ax_1 + x_2 + x_3 = -a, x1x2+x2x3+x3x1=bx_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 = b, x1x2x3=−cx_1x_2x_3 = -c.
22 puncte
Deoarece rădăcinile sunt complexe conjugate, putem scrie x1=α+βix_1 = \alpha + \beta i, x2=α−βix_2 = \alpha - \beta i, x3=γx_3 = \gamma, cu α,β,γ∈R\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb{R}.
32 puncte
Din suma pătratelor: x12+x22+x32=10x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 = 10. Calculăm x12+x22=2(α2−β2)x_1^2 + x_2^2 = 2(\alpha^2 - \beta^2), deci 2(α2−β2)+γ2=102(\alpha^2 - \beta^2) + \gamma^2 = 10.
42 puncte
Din produsul rădăcinilor: x1x2x3=8x_1x_2x_3 = 8. Dar x1x2=(α+βi)(α−βi)=α2+β2x_1x_2 = (\alpha + \beta i)(\alpha - \beta i) = \alpha^2 + \beta^2, deci (α2+β2)γ=8(\alpha^2 + \beta^2)\gamma = 8.
52 puncte
Rezolvăm sistemul format din ecuațiile 2(α2−β2)+γ2=102(\alpha^2 - \beta^2) + \gamma^2 = 10 și (α2+β2)γ=8(\alpha^2 + \beta^2)\gamma = 8 pentru α,β,γ\alpha, \beta, \gamma, apoi determinăm a=−(2α+γ)a = -(2\alpha + \gamma), b=α2+β2+2αγb = \alpha^2 + \beta^2 + 2\alpha\gamma, și c=−8c = -8.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.