MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie P(x)=x4+bx3+cx2+dx+eP(x) = x^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e un polinom cu coeficienți reali. Știind că P(1)=0P(1)=0, P(2)=10P(2)=10, și P(i)=2−3iP(i)=2-3i, determinați coeficienții b,c,d,eb, c, d, e.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scriem condițiile: P(1)=1+b+c+d+e=0P(1)=1+b+c+d+e=0, P(2)=16+8b+4c+2d+e=10P(2)=16+8b+4c+2d+e=10, și P(i)=i4+bi3+ci2+di+e=2−3iP(i)=i^4 + b i^3 + c i^2 + d i + e = 2-3i.
23 puncte
Simplificăm P(i)P(i): i4=1i^4=1, i3=−ii^3=-i, i2=−1i^2=-1, deci 1−bi−c+di+e=2−3i⇒(1−c+e)+i(d−b)=2−3i1 - b i - c + d i + e = 2-3i \Rightarrow (1-c+e) + i(d-b) = 2-3i.
33 puncte
Echivalăm părțile reale și imaginare: 1−c+e=21-c+e=2 și d−b=−3d-b=-3. Obținem sistemul: {1+b+c+d+e=016+8b+4c+2d+e=101−c+e=2d−b=−3\begin{cases} 1+b+c+d+e=0 \\ 16+8b+4c+2d+e=10 \\ 1-c+e=2 \\ d-b=-3 \end{cases}.
42 puncte
Rezolvăm sistemul. Din 1−c+e=21-c+e=2 avem e−c=1e-c=1. Din d−b=−3d-b=-3 avem d=b−3d=b-3. Înlocuim: din prima ecuație, 1+b+c+(b−3)+e=0⇒2b+c+e=21+b+c+(b-3)+e=0 \Rightarrow 2b + c + e = 2. Din a doua, 16+8b+4c+2(b−3)+e=10⇒10b+4c+e=016+8b+4c+2(b-3)+e=10 \Rightarrow 10b+4c+e=0. Combinând cu e−c=1e-c=1, rezolvăm și găsim b=1,c=2,d=−2,e=3b=1, c=2, d=-2, e=3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.