GreuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

GreuPolinoameNumere Complexe
Fie polinomul P(X)=X3+aX2+bX+cP(X) = X^3 + aX^2 + bX + c cu coeficienți reali. Știind că rădăcinile sale z1,z2,z3∈Cz_1, z_2, z_3 \in \mathbb{C} verifică ∣z1∣=∣z2∣=∣z3∣=1|z_1| = |z_2| = |z_3| = 1, demonstrați că a2+b2+c2=3a^2 + b^2 + c^2 = 3.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scrieți relațiile lui Viete: z1+z2+z3=−az_1 + z_2 + z_3 = -a, z1z2+z2z3+z3z1=bz_1 z_2 + z_2 z_3 + z_3 z_1 = b, z1z2z3=−cz_1 z_2 z_3 = -c.
24 puncte
Folosiți condiția ∣zi∣=1|z_i| = 1 pentru a deduce că zi‾=1zi\overline{z_i} = \frac{1}{z_i} pentru fiecare rădăcină, apoi exprimați aa, bb, cc în funcție de acestea, utilizând proprietăți ale conjugării și modulului.
33 puncte
Calculați a2+b2+c2a^2 + b^2 + c^2 folosind relațiile de la Viete și faptul că ∣zi∣=1|z_i| = 1, obținând în final a2+b2+c2=3a^2 + b^2 + c^2 = 3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.