MediuPolinoameClasa 11

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie aa un număr real. Se consideră polinomul P(X)=X3−aX2+aX−1P(X) = X^3 - aX^2 + aX - 1. a) Să se determine aa astfel încât polinomul să aibă o rădăcină dublă. b) Pentru a=2a=2, să se determine toate rădăcinile complexe ale polinomului. c) Să se demonstreze că pentru orice a∈Ra \in \mathbb{R}, polinomul are cel puțin o rădăcină reală.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se calculează derivata P′(X)=3X2−2aX+aP'(X) = 3X^2 - 2aX + a. O rădăcină dublă rr satisface P(r)=0P(r)=0 și P′(r)=0P'(r)=0. Din P(r)=r3−ar2+ar−1=0P(r)=r^3 - ar^2 + ar -1=0 și P′(r)=3r2−2ar+a=0P'(r)=3r^2 -2ar +a=0, se obține r=1r=1 sau r=−1r=-1. Pentru r=1r=1, din P′(1)=3−a=0P'(1)=3-a=0 rezultă a=3a=3. Pentru r=−1r=-1, din P(−1)=−2−2a=0P(-1)=-2-2a=0 și P′(−1)=3+3a=0P'(-1)=3+3a=0 rezultă a=−1a=-1. Deci a=3a=3 sau a=−1a=-1.
23 puncte
Pentru a=2a=2, polinomul este P(X)=X3−2X2+2X−1P(X)=X^3 -2X^2+2X-1. Se observă că P(1)=0P(1)=0, deci X−1X-1 este factor. Prin împărțire, P(X)=(X−1)(X2−X+1)P(X)=(X-1)(X^2 -X +1). Rădăcinile lui X2−X+1=0X^2 -X +1=0 sunt 1±i32\frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2}. Astfel, rădăcinile complexe sunt 1,1+i32,1−i321, \frac{1 + i\sqrt{3}}{2}, \frac{1 - i\sqrt{3}}{2}.
34 puncte
Polinomul P(X)P(X) are coeficienți reali și grad impar (3). Conform teoremei, orice polinom de grad impar cu coeficienți reali are cel puțin o rădăcină reală. Se poate justifica și folosind teorema valorilor intermediare: pentru X→−∞X \to -\infty, P(X)→−∞P(X) \to -\infty, iar pentru X→+∞X \to +\infty, P(X)→+∞P(X) \to +\infty, deci există un X0∈RX_0 \in \mathbb{R} cu P(X0)=0P(X_0)=0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.