MediuPolinoameClasa 12

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameStudiul funcțiilorIntegrale definite
Fie polinomul P(X)=X3−4X2+5X−2P(X) = X^3 - 4X^2 + 5X - 2. Să se determine rădăcinile reale ale polinomului și să se studieze semnul funcției f(x)=P(x)f(x) = P(x) pe intervalul [0,3][0,3]. Apoi, să se calculeze aria suprafeței plane mărginite de graficul funcției ff, axa OxOx și dreptele x=0x=0 și x=3x=3.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Găsiți rădăcinile polinomului: observați că P(1)=0P(1) = 0, deci X−1X-1 este factor. Efectuați împărțirea: P(X)=(X−1)(X2−3X+2)=(X−1)(X−1)(X−2)=(X−1)2(X−2)P(X) = (X-1)(X^2 - 3X + 2) = (X-1)(X-1)(X-2) = (X-1)^2 (X-2). Rădăcinile reale sunt x1=x2=1x_1 = x_2 = 1 (dublă) și x3=2x_3 = 2.\n
23 puncte
Studiați semnul lui f(x)=(x−1)2(x−2)f(x) = (x-1)^2 (x-2) pe [0,3][0,3]: (x−1)2≥0(x-1)^2 \geq 0 pentru orice xx, iar (x−2)(x-2) este negativ pentru x<2x < 2, zero la x=2x=2, pozitiv pentru x>2x > 2. Deci, f(x)≤0f(x) \leq 0 pe [0,2)[0,2) (cu f(x)=0f(x)=0 la x=1x=1) și f(x)>0f(x) > 0 pe (2,3](2,3].\n
32 puncte
Scrieți integrala pentru arie: A=∫03∣f(x)∣ dx=∫02−f(x) dx+∫23f(x) dxA = \int_{0}^{3} |f(x)| \, dx = \int_{0}^{2} -f(x) \, dx + \int_{2}^{3} f(x) \, dx, deoarece f(x)f(x) este negativ pe [0,2)[0,2) și pozitiv pe (2,3](2,3].\n
42 puncte
Calculați integralele: ∫f(x) dx=∫(x3−4x2+5x−2) dx=x44−4x33+5x22−2x+C\int f(x) \, dx = \int (x^3 - 4x^2 + 5x - 2) \, dx = \frac{x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 2x + C. Apoi, A=[−(x44−4x33+5x22−2x)]02+[x44−4x33+5x22−2x]23A = \left[ -\left( \frac{x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 2x \right) \right]_{0}^{2} + \left[ \frac{x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 2x \right]_{2}^{3}. Efectuați calculele: la x=2x=2, valoarea este 00; la x=3x=3, obțineți 14\frac{1}{4}; deci A=14A = \frac{1}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.