MediuPolinoameClasa 9

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameProgresii AritmeticeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie P(x)=x3+px2+qx+rP(x) = x^3 + px^2 + qx + r un polinom cu coeficienți reali. Știind că rădăcinile lui P(x)P(x) sunt în progresie aritmetică și că P(1)=4P(1) = 4 și P(−1)=−2P(-1) = -2, determinați coeficienții p,q,rp, q, r.

Rezolvare completă

10 puncte · 8 pași
12 puncte
Fie rădăcinile a−d,a,a+da-d, a, a+d în progresie aritmetică. Atunci, din relațiile lui Viète, avem 3a=−p3a = -p, 3a2−d2=q3a^2 - d^2 = q, și a(a2−d2)=−ra(a^2 - d^2) = -r.
21 punct
Din P(1)=4P(1) = 4, obținem p+q+r=3p + q + r = 3.
31 punct
Din P(−1)=−2P(-1) = -2, obținem p−q+r=−1p - q + r = -1.
41 punct
Scăzând ecuațiile, avem 2q=42q = 4, deci q=2q=2.
51 punct
Adunând ecuațiile, avem 2p+2r=22p + 2r = 2, deci p+r=1p+r=1.
61 punct
Din q=2q=2 și 3a2−d2=q3a^2 - d^2 = q, rezultă 3a2−d2=23a^2 - d^2 = 2.
71 punct
Din 3a=−p3a = -p și a(a2−d2)=−ra(a^2 - d^2) = -r.
82 puncte
Rezolvăm sistemul: din p+r=1p+r=1, 3a=−p3a=-p, a(a2−d2)=−ra(a^2-d^2)=-r, și 3a2−d2=23a^2-d^2=2. Găsim a=1a=1, d=1d=1, p=−3p=-3, r=4r=4, deci p=−3,q=2,r=4p=-3, q=2, r=4.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.