MediuPolinoameClasa 9

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameProgresii GeometriceSisteme de Ecuații Neliniare
Fie P(x)=x3−(a+1)x2+(a+b)x−bP(x) = x^3 - (a+1)x^2 + (a+b)x - b un polinom cu rădăcinile în progresie geometrică. Determinați valorile lui aa și bb pentru care aceasta este adevărată și găsiți rădăcinile polinomului.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Fie rădăcinile în progresie geometrică r,rq,rq2r, rq, rq^2. Aplicați relațiile lui Viète: suma rădăcinilor r+rq+rq2=a+1r + rq + rq^2 = a+1, suma produselor două câte două r2q+r2q2+r2q3=a+br^2q + r^2q^2 + r^2q^3 = a+b, și produsul rădăcinilor r3q3=br^3q^3 = b.
24 puncte
Din aceste ecuații, eliminați rr și qq. De exemplu, din prima ecuație, r(1+q+q2)=a+1r(1+q+q^2)=a+1, iar din a treia, r3q3=br^3q^3=b. Folosind faptul că rădăcinile sunt în progresie geometrică, se pot obține relații între aa și bb, cum ar fi (a+1)3=b(1+q+q2)3(a+1)^3 = b(1+q+q^2)^3 cu qq satisfăcând anumite condiții. Rezolvați pentru aa și bb considerând cazuri.
33 puncte
Obțineți soluțiile posibile: de exemplu, pentru q=1q=1, rădăcinile sunt egale, ceea ce conduce la anumite valori ale lui aa și bb, sau pentru q≠1q \neq 1, se găsesc valori specifice. Verificați fiecare caz pentru a determina polinomul și rădăcinile exacte.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.