MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameIdentități algebriceNumere Complexe
Fie polinomul R(X)=X4+2X3+3X2+2X+1R(X) = X^4 + 2X^3 + 3X^2 + 2X + 1. Să se arate că R(X)R(X) este pătratul unui alt polinom și să se determine rădăcinile sale în mulțimea numerelor complexe.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Căutăm un polinom de forma (X2+pX+q)2(X^2 + pX + q)^2 egal cu R(X)R(X). Expandând: (X2+pX+q)2=X4+2pX3+(p2+2q)X2+2pqX+q2(X^2 + pX + q)^2 = X^4 + 2pX^3 + (p^2 + 2q)X^2 + 2pqX + q^2. Comparând cu R(X)R(X), obținem: 2p=2⇒p=12p = 2 \Rightarrow p = 1, p2+2q=1+2q=3⇒2q=2⇒q=1p^2 + 2q = 1 + 2q = 3 \Rightarrow 2q = 2 \Rightarrow q = 1, 2pq=22pq = 2 și q2=1q^2 = 1 verifică. Deci R(X)=(X2+X+1)2R(X) = (X^2 + X + 1)^2.
24 puncte
Rădăcinile lui R(X)R(X) sunt rădăcinile ecuației X2+X+1=0X^2 + X + 1 = 0. Discriminantul: Δ=1−4=−3\Delta = 1 - 4 = -3. Soluțiile: X=−1±i32X = \frac{-1 \pm i\sqrt{3}}{2}.
33 puncte
Deoarece R(X)=(X2+X+1)2R(X) = (X^2 + X + 1)^2, fiecare rădăcină are multiplicitatea 2. Astfel, rădăcinile complexe sunt −1+i32\frac{-1 + i\sqrt{3}}{2} și −1−i32\frac{-1 - i\sqrt{3}}{2}, ambele cu multiplicitatea 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.