MediuPolinoameClasa 9

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameProgresii Aritmetice
Fie polinomul P(x)=x3+ax2+bx+cP(x) = x^3 + ax^2 + bx + c cu rădăcinile în progresie aritmetică. Știind că suma rădăcinilor este 9 și produsul rădăcinilor este 15, determinați coeficienții aa, bb, cc și scrieți polinomul în forma factorizată.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Notăm rădăcinile polinomului cu r−dr-d, rr, r+dr+d. Din suma rădăcinilor, avem (r−d)+r+(r+d)=3r=9(r-d) + r + (r+d) = 3r = 9, deci r=3r=3.
23 puncte
Din produsul rădăcinilor, avem (r−d)⋅r⋅(r+d)=r(r2−d2)=3(9−d2)=15(r-d) \cdot r \cdot (r+d) = r(r^2 - d^2) = 3(9 - d^2) = 15. Rezolvând, 9−d2=59 - d^2 = 5, deci d2=4d^2 = 4, și d=±2d = \pm 2.
34 puncte
Polinomul factorizat este P(x)=(x−(3−2))(x−3)(x−(3+2))=(x−1)(x−3)(x−5)P(x) = (x - (3-2))(x-3)(x - (3+2)) = (x-1)(x-3)(x-5). Expandând, P(x)=(x−1)(x−3)(x−5)=(x2−4x+3)(x−5)=x3−9x2+23x−15P(x) = (x-1)(x-3)(x-5) = (x^2 -4x +3)(x-5) = x^3 -9x^2 +23x -15. Astfel, a=−9a=-9, b=23b=23, c=−15c=-15.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.