MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Determinați polinomul Q(x)Q(x) de gradul 3 cu coeficienți reali, știind că Q(x)Q(x) are rădăcina 1+i1+i și că Q(0)=10Q(0) = 10, iar suma coeficienților este 20.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Deoarece coeficienții sunt reali, rădăcina 1+i1+i implică că și conjugata 1−i1-i este rădăcină. Notăm polinomul Q(x)=k(x−(1+i))(x−(1−i))(x−r)=k(x2−2x+2)(x−r)Q(x)=k(x-(1+i))(x-(1-i))(x-r)=k(x^2-2x+2)(x-r), unde kk este coeficientul dominant și rr este a treia rădăcină reală.
23 puncte
Folosim condițiile date: Q(0)=10Q(0)=10 dă k⋅2⋅(−r)=10k \cdot 2 \cdot (-r)=10, adică −2kr=10-2kr=10. Suma coeficienților este Q(1)=20Q(1)=20, deci k(12−2⋅1+2)(1−r)=k(1−2+2)(1−r)=k(1−r)=20k(1^2-2\cdot1+2)(1-r)=k(1-2+2)(1-r)=k(1-r)=20.
34 puncte
Rezolvăm sistemul: −2kr=10-2kr=10 și k(1−r)=20k(1-r)=20. Din prima ecuație, kr=−5kr=-5. Înlocuim în a doua: k(1−r)=k−kr=k−(−5)=k+5=20k(1-r)=k-kr=k-(-5)=k+5=20, deci k=15k=15. Atunci 15r=−515r=-5, de unde r=−13r=-\frac{1}{3}. Polinomul este Q(x)=15(x2−2x+2)(x+13)=15x3−25x2+20x+10Q(x)=15(x^2-2x+2)(x+\frac{1}{3})=15x^3-25x^2+20x+10.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.