MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameProgresii GeometriceNumere Complexe
Fie P(x)=x3+ax2+bx+cP(x) = x^3 + ax^2 + bx + c un polinom cu coeficienți reali. Știind că rădăcinile sale x1,x2,x3x_1, x_2, x_3 sunt în progresie geometrică, suma lor este 6 și produsul lor este -64, determinați coeficienții a,b,ca, b, c și arătați că toate rădăcinile sunt reale.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Aplicăm relațiile lui Viète pentru polinomul de gradul 3: x1+x2+x3=−ax_1 + x_2 + x_3 = -a, x1x2+x2x3+x3x1=bx_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1 = b, x1x2x3=−cx_1 x_2 x_3 = -c.
23 puncte
Din condițiile din enunț, x1+x2+x3=6⇒a=−6x_1 + x_2 + x_3 = 6 \Rightarrow a = -6 și x1x2x3=−64⇒c=64x_1 x_2 x_3 = -64 \Rightarrow c = 64.
32 puncte
Deoarece rădăcinile sunt în progresie geometrică, notăm x2=x1rx_2 = x_1 r, x3=x1r2x_3 = x_1 r^2. Atunci avem x1(1+r+r2)=6x_1 (1 + r + r^2) = 6 și x13r3=−64x_1^3 r^3 = -64.
42 puncte
Din x13r3=−64x_1^3 r^3 = -64, obținem x1r=−4x_1 r = -4. Substituind în x1(1+r+r2)=6x_1 (1 + r + r^2) = 6 și rezolvând, găsim x1=2x_1 = 2 și r=−2r = -2, deci rădăcinile sunt 2,−4,82, -4, 8 (reale). Atunci b=x1x2+x2x3+x3x1=2⋅(−4)+(−4)⋅8+8⋅2=−24b = x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1 = 2 \cdot (-4) + (-4) \cdot 8 + 8 \cdot 2 = -24.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.